Table des matières
1. Introduction à la dérivation
La dérivation est un concept fondamental en analyse mathématique. Elle permet d'étudier la variation d'une fonction, c'est-à-dire la façon dont elle évolue lorsque sa variable change.
La dérivation a de nombreuses applications dans divers domaines, notamment en physique (vitesse, accélération), en économie (taux de croissance), et en optimisation.
2. Le nombre dérivé
Le nombre dérivé est la base du concept de dérivation. Il représente la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en un point donné.
Cette formule exprime le nombre dérivé comme la limite du taux de variation moyen lorsque l'intervalle de variation tend vers zéro.
f'(2) = lim[h→0] ((2+h)² - 2²) / h
= lim[h→0] (4 + 4h + h² - 4) / h
= lim[h→0] (4h + h²) / h
= lim[h→0] (4 + h) = 4
3. La fonction dérivée
La fonction dérivée f' d'une fonction f est la fonction qui à chaque point associe le nombre dérivé de f en ce point.
4. Les règles de dérivation
Pour calculer efficacement les dérivées, on utilise des règles de dérivation :
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) |
|---|---|
| k (constante) | 0 |
| x | 1 |
| x^n | n * x^(n-1) |
| u(x) + v(x) | u'(x) + v'(x) |
| k * u(x) | k * u'(x) |
| u(x) * v(x) | u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x) |
| u(x) / v(x) | (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / [v(x)]² |
5. Applications de la dérivation
La dérivation a de nombreuses applications, notamment :
- Étude des variations d'une fonction
- Recherche d'extremums (maximums et minimums)
- Calcul de tangentes
- Optimisation
f'(x) = 3x² - 6x
f'(x) = 3x(x - 2)
f'(x) s'annule pour x = 0 et x = 2.
f' est négative sur ]-∞, 0[ et ]2, +∞[, et positive sur ]0, 2[.
Donc f est décroissante sur ]-∞, 0[ et ]2, +∞[, et croissante sur ]0, 2[.
6. Exercices et problèmes
Pour maîtriser la dérivation, il est essentiel de pratiquer régulièrement. Voici quelques exercices pour vous entraîner :
- Calculez la dérivée de f(x) = 2x³ - 5x² + 3x - 1
- Déterminez l'équation de la tangente à la courbe de g(x) = √x au point d'abscisse 4
- Étudiez les variations de h(x) = x³ - 3x² sur R
- Trouvez les extremums de la fonction j(x) = x² - 4x + 3 sur [-1, 5]