Introduction
Dans ce cours, nous allons étudier les dérivées des fonctions de référence. Ces fonctions sont essentielles et servent de base pour dériver des fonctions plus complexes.
Théorème : Dérivées des fonctions de référence
Voici les dérivées des principales fonctions de référence :
| Fonction \(f(x)\) | Dérivée \(f'(x)\) | Domaine de définition |
|---|---|---|
| \(x \mapsto k\) (constante) | \(f'(x) = 0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x \mapsto x\) | \(f'(x) = 1\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x \mapsto x^n\) (n entier naturel) | \(f'(x) = nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x \mapsto \frac{1}{x}\) | \(f'(x) = -\frac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) |
| \(x \mapsto \sqrt{x}\) | \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0;+\infty[\) |
Explications et démonstrations
1. Fonction constante
La dérivée d'une fonction constante est toujours nulle car le taux de variation est nul.
2. Fonction identité
La dérivée de la fonction \(f(x) = x\) est 1 car le taux de variation est constant et égal à 1.
3. Fonction puissance
La dérivée de \(x^n\) est obtenue en appliquant la formule du binôme de Newton et en simplifiant.
Exemple : Dérivée de \(x^3\)
\(f(x) = x^3\)
\(f'(x) = 3x^2\)
4. Fonction inverse
La dérivée de \(\frac{1}{x}\) est obtenue en appliquant la définition de la dérivée et en simplifiant.
5. Fonction racine carrée
La dérivée de \(\sqrt{x}\) est obtenue en réécrivant \(\sqrt{x}\) comme \(x^{\frac{1}{2}}\) et en appliquant la règle de dérivation des puissances.
Note importante
Il est crucial de bien connaître ces dérivées de fonctions de référence, car elles sont la base pour dériver des fonctions plus complexes en utilisant les règles de dérivation (somme, produit, quotient, composée).
Applications
Ces dérivées de fonctions de référence sont utilisées dans de nombreux domaines :
- Étude des variations de fonctions
- Calcul de tangentes à une courbe
- Optimisation en physique et en économie
- Approximations linéaires