Les équations du second degré

1. Introduction aux équations du second degré

Une équation du second degré est une équation polynomiale de degré 2. Elle se présente sous la forme générale :

où :

• a, b, et c sont des nombres réels
• a ≠ 0 (sinon l'équation serait du premier degré)
• x est l'inconnue

2. Le discriminant

Pour résoudre une équation du second degré, on utilise le discriminant, noté Δ (delta). Il se calcule avec la formule suivante :

Le signe du discriminant détermine le nombre de solutions de l'équation :

• Si Δ > 0, l'équation a deux solutions réelles distinctes
• Si Δ = 0, l'équation a une solution réelle double
• Si Δ < 0, l'équation n'a pas de solution réelle

3. Résolution des équations du second degré

3.1 Cas où Δ > 0

Lorsque Δ > 0, l'équation admet deux solutions réelles distinctes :

3.2 Cas où Δ = 0

Lorsque Δ = 0, l'équation admet une solution réelle double :

3.3 Cas où Δ < 0

Lorsque Δ < 0, l'équation n'admet pas de solution réelle.

4. Forme factorisée

Une fois les solutions trouvées, on peut écrire l'équation sous sa forme factorisée :

Cette forme est particulièrement utile pour résoudre certains problèmes ou pour tracer la courbe de la fonction associée.

5. Interprétation graphique

Graphiquement, une équation du second degré correspond aux points d'intersection entre la parabole représentative de la fonction f(x) = ax² + bx + c et l'axe des abscisses.

• Si Δ > 0 : la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points
• Si Δ = 0 : la parabole est tangente à l'axe des abscisses
• Si Δ < 0 : la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses

6. Cas particuliers

6.1 Équation incomplète : bx + c = 0

Si a = 0, l'équation n'est pas du second degré mais du premier degré. La solution est alors :

6.2 Équation incomplète : ax² + c = 0

Si b = 0, on peut résoudre l'équation en isolant x² :

Si -c/a ≥ 0, les solutions sont :

Si -c/a < 0, il n'y a pas de solution réelle.

7. Applications

Les équations du second degré sont utilisées dans de nombreux domaines :

• Physique : mouvement parabolique, chute libre
• Économie : modèles de profit, d'offre et de demande
• Géométrie : calcul d'aires, de volumes
• Optimisation : recherche de maximums ou minimums

Conclusion

Les équations du second degré sont un outil puissant en mathématiques. Leur résolution systématique à l'aide du discriminant et des formules associées permet d'aborder de nombreux problèmes concrets. La pratique régulière est essentielle pour maîtriser ces techniques.