Introduction
Les équations exponentielles sont des équations où l'inconnue apparaît en exposant. Les logarithmes sont des outils puissants pour résoudre ces équations.
Méthode générale pour résoudre une équation exponentielle
- Isoler l'expression exponentielle d'un côté de l'équation
- Appliquer le logarithme népérien (ln) des deux côtés de l'équation
- Utiliser les propriétés des logarithmes pour simplifier
- Résoudre l'équation résultante pour trouver la valeur de l'inconnue
Équations exponentielles de base
Considérons l'équation générale : \(a^x = b\), où \(a > 0\) et \(a \neq 1\), et \(b > 0\).
\[ a^x = b \]
\[ \ln(a^x) = \ln(b) \]
\[ x \ln(a) = \ln(b) \]
\[ x = \frac{\ln(b)}{\ln(a)} \]
Exemple 1
Résolvons l'équation : \(2^x = 8\)
\[ 2^x = 8 \]
\[ \ln(2^x) = \ln(8) \]
\[ x \ln(2) = \ln(8) \]
\[ x = \frac{\ln(8)}{\ln(2)} = 3 \]
On peut vérifier : \(2^3 = 8\)
Équations exponentielles plus complexes
Pour des équations de la forme \(a^{f(x)} = b\), où \(f(x)\) est une fonction de x, on suit le même principe :
\[ a^{f(x)} = b \]
\[ \ln(a^{f(x)}) = \ln(b) \]
\[ f(x) \ln(a) = \ln(b) \]
\[ f(x) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)} \]
Exemple 2
Résolvons l'équation : \(3^{2x+1} = 27\)
\[ 3^{2x+1} = 27 \]
\[ \ln(3^{2x+1}) = \ln(27) \]
\[ (2x+1) \ln(3) = \ln(27) \]
\[ 2x+1 = \frac{\ln(27)}{\ln(3)} = 3 \]
\[ 2x = 2 \]
\[ x = 1 \]
Note importante
Lorsqu'on résout des équations exponentielles, il est crucial de vérifier que le domaine de définition est respecté. Par exemple, si l'équation implique \(\ln(x)\), assurez-vous que \(x > 0\).