Introduction aux barycentres
Le barycentre est un concept fondamental en géométrie, particulièrement utile dans le plan repéré. Il représente le "centre de gravité" d'un système de points pondérés.
Définition
Le barycentre d'un système de points pondérés (A₁, α₁), (A₂, α₂), ..., (Aₙ, αₙ) est le point G tel que :
\[ \overrightarrow{GA_1} \cdot \alpha_1 + \overrightarrow{GA_2} \cdot \alpha_2 + ... + \overrightarrow{GA_n} \cdot \alpha_n = \vec{0} \]
Propriétés importantes
- Le barycentre est indépendant de l'ordre des points.
- Si la somme des coefficients est non nulle, le barycentre existe et est unique.
- Si la somme des coefficients est nulle, le barycentre n'existe pas ou est à l'infini.
Calcul des coordonnées
Dans un repère, les coordonnées du barycentre G(x,y) sont données par :
\[ x = \frac{\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + ... + \alpha_n x_n}{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n} \]
\[ y = \frac{\alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2 + ... + \alpha_n y_n}{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n} \]
Exemple
Soit A(1,2), B(3,4) et C(5,1) avec les coefficients respectifs 2, 3 et 1. Le barycentre G a pour coordonnées :
\[ x = \frac{2(1) + 3(3) + 1(5)}{2 + 3 + 1} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \]
\[ y = \frac{2(2) + 3(4) + 1(1)}{2 + 3 + 1} = \frac{19}{6} \]
Donc G(8/3, 19/6)
Visualisation interactive
Déplacez les points A, B et C pour voir comment le barycentre G se déplace en conséquence.
Applications des barycentres
- Résolution de problèmes de géométrie complexes
- Étude des centres de gravité en physique
- Calcul de points particuliers dans les figures géométriques (centre de gravité d'un triangle, etc.)