1. Introduction à la géométrie repérée
La géométrie repérée est une branche des mathématiques qui combine la géométrie et l'algèbre. Elle permet de décrire des objets géométriques à l'aide de coordonnées dans un repère.
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, i, j), où O est l'origine, et i et j sont les vecteurs unitaires des axes des abscisses et des ordonnées respectivement.
2. Points dans le plan
Chaque point du plan est représenté par un couple de coordonnées (x, y).
P(x, y) où x est l'abscisse et y l'ordonnée du point P
Exemple : Le point A(3, 2) est situé à 3 unités à droite de l'origine sur l'axe des x et 2 unités au-dessus sur l'axe des y.
3. Vecteurs dans le plan
Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme (longueur).
\(\vec{u} = (x, y)\) où x et y sont les coordonnées du vecteur
Opérations sur les vecteurs :
- Addition : \(\vec{u} + \vec{v} = (x_u + x_v, y_u + y_v)\)
- Multiplication par un scalaire : \(k\vec{u} = (kx_u, ky_u)\)
4. Équations de droites
Une droite dans le plan peut être représentée par une équation.
4.1 Équation réduite
y = ax + b
où a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine
4.2 Équation générale
ax + by + c = 0
où a, b, et c sont des constantes réelles, avec a et b non tous deux nuls
5. Distance entre deux points
La distance entre deux points A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂) est donnée par la formule :
d(A, B) = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
6. Milieu d'un segment
Les coordonnées du milieu M d'un segment [AB] sont :
M(\(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\))
7. Produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}(x_u, y_u)\) et \(\vec{v}(x_v, y_v)\) est défini par :
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_ux_v + y_uy_v\)
Propriétés du produit scalaire :
- Commutativité : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)
- Distributivité : \(\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}\)
- Orthogonalité : \(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)
8. Équations de cercle
L'équation d'un cercle de centre C(a, b) et de rayon r est :
(x - a)² + (y - b)² = r²
9. Applications et exercices
Pour maîtriser ces concepts, il est essentiel de pratiquer avec divers exercices :