Introduction
Le calcul de distances dans le plan repéré est une compétence fondamentale en géométrie analytique. Il permet de déterminer la longueur d'un segment ou la distance entre deux points en utilisant leurs coordonnées dans un repère orthonormé.
Formule de la distance
Pour calculer la distance entre deux points A(xA, yA) et B(xB, yB) dans le plan, on utilise la formule suivante :
Cette formule est dérivée du théorème de Pythagore et s'applique dans un repère orthonormé.
Exemple
Calculons la distance entre les points A(1, 2) et B(4, 6) :
\[ d(A,B) = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} \]
\[ d(A,B) = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
La distance entre A et B est donc de 5 unités.
Visualisation graphique
Voici une représentation graphique des points A et B de l'exemple précédent :
Applications
Le calcul de distances dans le plan repéré a de nombreuses applications :
- Déterminer la longueur d'un segment
- Vérifier si trois points sont alignés
- Calculer le périmètre d'un polygone
- Résoudre des problèmes de géométrie complexes
Note importante
N'oubliez pas que cette formule n'est valable que dans un repère orthonormé. Dans un repère non orthonormé, le calcul de la distance nécessite une approche différente.
Exercices pratiques
Pour maîtriser le calcul de distances, il est important de s'exercer régulièrement. Voici quelques exercices pour vous entraîner :
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