Introduction
Dans le plan repéré, une droite peut être représentée par une équation mathématique. Cette leçon explore les différentes formes d'équations de droites et comment les utiliser pour résoudre des problèmes géométriques.
1. Équation réduite d'une droite
L'équation réduite d'une droite est la forme la plus courante :
où \(a\) est le coefficient directeur (ou pente) et \(b\) l'ordonnée à l'origine.
Propriétés :
- Le coefficient directeur \(a\) représente la pente de la droite.
- L'ordonnée à l'origine \(b\) est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.
Exemple :
L'équation \(y = 2x + 3\) représente une droite de pente 2 qui coupe l'axe des ordonnées au point (0, 3).
2. Équation générale d'une droite
L'équation générale d'une droite s'écrit sous la forme :
où \(a\), \(b\), et \(c\) sont des constantes réelles, avec \(a\) et \(b\) non tous deux nuls.
Conversion entre forme générale et réduite :
Pour passer de la forme générale à la forme réduite, on isole y :
Attention : Si \(b = 0\), la droite est verticale et son équation est de la forme \(x = k\).
3. Équation d'une droite passant par deux points
Si on connaît deux points \(A(x_1, y_1)\) et \(B(x_2, y_2)\) par lesquels passe une droite, on peut trouver son équation :
Exemple :
Trouvons l'équation de la droite passant par A(1, 2) et B(3, 6).
En appliquant la formule :
\[ y - 2 = \frac{6 - 2}{3 - 1}(x - 1) = 2(x - 1) \] \[ y = 2x \]4. Droites parallèles et perpendiculaires
- Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
- Deux droites de coefficients directeurs \(a_1\) et \(a_2\) sont perpendiculaires si et seulement si \(a_1 \cdot a_2 = -1\).
Une droite verticale est perpendiculaire à toute droite horizontale, et vice versa.
Exercices
Pour vous entraîner sur les équations de droites, essayez ces exercices :
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