Une rotation est une transformation géométrique qui fait tourner tous les points d'une figure autour d'un point fixe appelé centre de rotation, selon un angle donné et dans un sens déterminé (horaire ou antihoraire).
\[ R_{(O,\alpha)}(M) = M' \]
Où :
\(R_{(O,\alpha)}\) est la rotation de centre O et d'angle \(\alpha\)
\(M\) est un point quelconque du plan
\(M'\) est l'image de \(M\) par la rotation
Propriétés des Rotations
Une rotation conserve les distances : la distance entre deux points est égale à la distance entre leurs images.
Une rotation conserve les angles : l'angle entre deux droites est égal à l'angle entre leurs images.
Une rotation conserve l'orientation : le sens de parcours d'une figure est conservé dans son image.
Le centre de rotation reste invariant : il est son propre image par la rotation.
Note : La rotation est une isométrie, c'est-à-dire qu'elle conserve les formes et les dimensions des figures.
Exemple de Rotation
Considérons un triangle ABC et une rotation de centre O et d'angle 90° dans le sens antihoraire. L'image du triangle sera un triangle A'B'C' tel que :
OA = OA', OB = OB', OC = OC'
Les angles \(\widehat{AOA'}\), \(\widehat{BOB'}\), \(\widehat{COC'}\) mesurent tous 90°
Les côtés de A'B'C' sont de même longueur que ceux de ABC
Les angles de A'B'C' sont égaux à ceux de ABC
Visualisation Interactive
Utilisez les contrôles ci-dessous pour expérimenter avec une rotation :
Applications des Rotations
Les rotations sont largement utilisées dans divers domaines :
Architecture : Pour créer des motifs géométriques complexes ou des structures symétriques.
Design graphique : Pour produire des logos, des illustrations ou des motifs répétitifs.
Ingénierie mécanique : Pour modéliser le mouvement des pièces rotatives dans les machines.
Astronomie : Pour décrire le mouvement des corps célestes.
Robotique : Pour contrôler le mouvement des bras robotiques et des articulations.
Exercices Pratiques
Pour maîtriser le concept de rotation, essayez ces exercices :
Dessinez un carré ABCD et appliquez-lui une rotation de 45° autour de son centre. Que remarquez-vous ?
Trouvez l'image d'un point M(3, 4) par une rotation de centre O(0, 0) et d'angle 90°.
Déterminez l'angle de rotation nécessaire pour qu'un triangle équilatéral se superpose exactement à lui-même.