Problèmes d'Optimisation

Spécialité Mathématiques - Lycée

Introduction aux problèmes d'optimisation

Les problèmes d'optimisation consistent à trouver les valeurs maximales ou minimales d'une fonction dans un contexte donné. La dérivation est un outil puissant pour résoudre ces problèmes, car elle permet de déterminer les points critiques où ces extremums peuvent se produire.

Méthodologie générale

  1. Identifier la fonction à optimiser et les contraintes du problème.
  2. Exprimer la fonction en termes d'une seule variable si possible.
  3. Déterminer le domaine de définition de la fonction.
  4. Calculer la dérivée de la fonction.
  5. Trouver les points critiques en résolvant f'(x) = 0 et en vérifiant les extrémités du domaine.
  6. Évaluer la fonction aux points critiques et aux extrémités du domaine.
  7. Comparer les valeurs pour déterminer le maximum ou le minimum global.
  8. Interpréter le résultat dans le contexte du problème original.

Exemple 1 : Optimisation géométrique

Problème : Parmi tous les rectangles de périmètre 20 mètres, trouver celui qui a la plus grande aire.

Solution :

  1. Soit x la largeur et y la longueur du rectangle. L'aire A = xy et le périmètre 2x + 2y = 20.
  2. De l'équation du périmètre, on tire y = 10 - x. Donc A(x) = x(10-x) = 10x - x².
  3. Le domaine est [0, 10] car x et y doivent être positifs.
  4. A'(x) = 10 - 2x
  5. A'(x) = 0 donne x = 5. Les extrémités sont x = 0 et x = 10.
  6. A(0) = 0, A(5) = 25, A(10) = 0
  7. Le maximum est atteint pour x = 5.
  8. Le rectangle de plus grande aire a une largeur de 5m et une longueur de 5m (carré).

Exemple 2 : Optimisation économique

Problème : Une entreprise produit x objets par jour. Le coût de production en euros est donné par C(x) = 0.5x² + 100x + 1000, et le prix de vente unitaire est de 300€. Déterminer le nombre d'objets à produire pour maximiser le profit.

Solution :

  1. Le profit P(x) = Revenu - Coût = 300x - (0.5x² + 100x + 1000) = -0.5x² + 200x - 1000
  2. Le domaine est [0, +∞[ car la production ne peut être négative.
  3. P'(x) = -x + 200
  4. P'(x) = 0 donne x = 200. Vérifions aussi x = 0.
  5. P(0) = -1000, P(200) = 19000
  6. Le maximum est atteint pour x = 200.
  7. L'entreprise doit produire 200 objets par jour pour maximiser son profit.

Conclusion

Les problèmes d'optimisation sont omniprésents dans de nombreux domaines, de la géométrie à l'économie en passant par la physique et l'ingénierie. La maîtrise de ces techniques est essentielle pour résoudre efficacement ces problèmes et prendre des décisions optimales dans diverses situations.

Pratiquer avec des exercices d'optimisation