Cours sur les Équations Différentielles

Spécialité Mathématiques - Lycée

Introduction aux Équations Différentielles

Une équation différentielle est une équation qui met en relation une fonction inconnue et ses dérivées. Ces équations sont fondamentales en mathématiques et en physique, car elles permettent de modéliser de nombreux phénomènes naturels.

Définition : Une équation différentielle d'ordre n est une équation de la forme :
\[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\]
où \(y\) est la fonction inconnue et \(y', y'', ..., y^{(n)}\) sont ses dérivées successives.

Équations Différentielles du Premier Ordre

Les équations différentielles du premier ordre sont les plus simples et les plus courantes. Elles impliquent uniquement la fonction inconnue et sa dérivée première.

Équation différentielle linéaire du premier ordre

La forme générale est :

\[y' + a(x)y = b(x)\]

où \(a(x)\) et \(b(x)\) sont des fonctions continues sur un intervalle I.

Exemple : Résoudre l'équation \(y' + 2y = e^x\)

Solution : On cherche un facteur intégrant \(\mu(x) = e^{\int 2 dx} = e^{2x}\)

Multiplions l'équation par \(e^{2x}\) :

\[e^{2x}y' + 2e^{2x}y = e^{3x}\] \[\frac{d}{dx}(e^{2x}y) = e^{3x}\] \[e^{2x}y = \frac{1}{3}e^{3x} + C\] \[y = \frac{1}{3}e^x + Ce^{-2x}\]

Équations Différentielles du Second Ordre

Les équations différentielles du second ordre impliquent la fonction inconnue, sa dérivée première et sa dérivée seconde.

Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

La forme générale est :

\[ay'' + by' + cy = f(x)\]

où \(a\), \(b\), et \(c\) sont des constantes réelles, avec \(a \neq 0\).

Exemple : Résoudre l'équation \(y'' + 4y' + 4y = 0\)

Solution : L'équation caractéristique est \(r^2 + 4r + 4 = 0\)

Elle a une racine double \(r = -2\)

La solution générale est donc :

\[y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-2x}\]

où \(C_1\) et \(C_2\) sont des constantes arbitraires.

Applications des Équations Différentielles

Les équations différentielles sont utilisées dans de nombreux domaines :

Note : La résolution des équations différentielles peut souvent nécessiter des méthodes numériques, en particulier pour les équations non linéaires ou d'ordre supérieur.

Pour aller plus loin

Ce cours couvre les bases des équations différentielles. Pour approfondir vos connaissances, vous pouvez explorer :

Pratiquer avec des exercices