Cours de Spécialité Mathématiques - Lycée
La comparaison de fonctions est un outil essentiel en analyse mathématique. Elle permet d'étudier le comportement relatif de deux fonctions, notamment à l'infini ou au voisinage d'un point. Cette comparaison s'appuie souvent sur l'étude des limites.
Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I.
Si f(x) ≤ g(x) pour tout x dans un voisinage de a, et si limx→a f(x) = limx→a g(x) = l, alors limx→a h(x) = l pour toute fonction h telle que f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) dans ce voisinage.
Comparons f(x) = x^2 et g(x) = x^3 quand x → +∞.
Calculons la limite : limx→+∞ f(x)/g(x) = limx→+∞ x^2/x^3 = limx→+∞ 1/x = 0
Donc x^2 = o(x^3) quand x → +∞.
Montrons que f(x) = sin(x) et g(x) = x sont équivalentes quand x → 0.
Calculons la limite : limx→0 f(x)/g(x) = limx→0 sin(x)/x = 1 (limite connue)
Donc sin(x) ~ x quand x → 0.
La comparaison de fonctions est utile dans de nombreux domaines :
La comparaison de fonctions est un outil puissant, mais il faut toujours être attentif au domaine de validité des comparaisons. Une comparaison valable au voisinage d'un point peut ne plus l'être ailleurs.