Introduction à la Continuité
La continuité est un concept fondamental en analyse mathématique. Elle décrit le comportement d'une fonction qui ne présente pas de "saut" ou de "rupture" dans son graphe.
Définition Formelle de la Continuité
Définition
Une fonction f est dite continue en un point a de son domaine de définition si et seulement si :
- f(a) existe (la fonction est définie en a)
- La limite de f(x) quand x tend vers a existe
- Cette limite est égale à f(a)
En notation mathématique :
limx→a f(x) = f(a)
Interprétation Graphique
Graphiquement, une fonction continue peut être tracée d'un seul trait, sans lever le crayon.
Continuité sur un Intervalle
Théorème
Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en chaque point de cet intervalle.
Exemple
Exemple : Fonction polynomiale
La fonction f(x) = x² + 2x + 1 est continue sur ℝ (ensemble des réels) car :
- Elle est définie pour tout réel
- La limite existe en tout point (les polynômes sont continus)
- La valeur de la fonction en chaque point est égale à sa limite
Importance de la Continuité
Note
La continuité est cruciale pour de nombreux théorèmes en analyse, comme le théorème des valeurs intermédiaires ou le théorème de Rolle. Elle est également fondamentale pour l'étude des dérivées et des intégrales.