MathUp - Limites de fonctions composées

Introduction aux fonctions composées

La composition de fonctions est une opération fondamentale en mathématiques. Elle consiste à appliquer une fonction après une autre. Si f et g sont deux fonctions, la composition de f et g, notée f ∘ g, est définie par :

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

L'étude des limites de fonctions composées est cruciale pour comprendre le comportement de fonctions complexes.

Théorème fondamental sur les limites de fonctions composées

Le théorème suivant est essentiel pour calculer les limites de fonctions composées :

Théorème : Soit f et g deux fonctions telles que :

lim[x→a] g(x) = L
f est continue en L

Alors : lim[x→a] f(g(x)) = f(lim[x→a] g(x)) = f(L)

Ce théorème nous permet de "passer la limite à l'intérieur" de la fonction f, à condition que f soit continue au point où g tend.

Exemples d'application

Exemple 1 : Limite finie

Calculons lim[x→2] sin(x²+1)

Ici, g(x) = x²+1 et f(x) = sin(x)

1. lim[x→2] g(x) = lim[x→2] (x²+1) = 2²+1 = 5

2. sin est continue sur ℝ, donc en particulier en 5

3. On peut donc appliquer le théorème :

lim[x→2] sin(x²+1) = sin(lim[x→2] (x²+1)) = sin(5)

Exemple 2 : Limite infinie

Calculons lim[x→+∞] ln(x²+1)

Ici, g(x) = x²+1 et f(x) = ln(x)

1. lim[x→+∞] g(x) = lim[x→+∞] (x²+1) = +∞

2. ln est continue sur ]0,+∞[ et admet une limite en +∞

3. On peut donc conclure :

lim[x→+∞] ln(x²+1) = lim[x→+∞] ln(x) = +∞

Cas particuliers et pièges à éviter

Il faut être vigilant dans certains cas :

Quand la limite intérieure est infinie et que la fonction extérieure n'est pas définie à l'infini.
Quand la limite intérieure est un point où la fonction extérieure n'est pas continue.

Dans ces cas, on ne peut pas appliquer directement le théorème et il faut utiliser d'autres méthodes (développements limités, changements de variable, etc.).