1. Définition de la limite en un point fini
Une fonction f(x) admet une limite L en un point a si, pour tout ε > 0, il existe un δ > 0 tel que pour tout x vérifiant 0 < |x - a| < δ, on a |f(x) - L| < ε.
Cette définition formelle exprime l'idée que f(x) peut être rendue aussi proche que l'on veut de L en prenant x suffisamment proche de a.
2. Types de limites en un point fini
On distingue plusieurs cas :
- Limite finie en un point fini
- Limite infinie en un point fini
- Limite à gauche et à droite d'un point
Exemple :
Pour la fonction f(x) = x², on a :
limx→2 f(x) = 4
Car plus x s'approche de 2, plus f(x) s'approche de 4.
3. Méthodes de calcul des limites
Pour calculer les limites en un point fini, on peut utiliser plusieurs techniques :
- Substitution directe (pour les fonctions continues)
- Factorisation
- Multiplication par l'expression conjuguée
- Utilisation des limites remarquables
Attention : Certaines formes indéterminées (comme 0/0 ou ∞/∞) nécessitent des techniques plus avancées.
4. Limites latérales
On peut également étudier les limites à gauche et à droite d'un point :
- Limite à gauche : limx→a- f(x)
- Limite à droite : limx→a+ f(x)
Une fonction admet une limite en a si et seulement si ses limites à gauche et à droite en a existent et sont égales.
5. Applications et importance
L'étude des limites en un point fini est cruciale pour :
- Comprendre le comportement local des fonctions
- Étudier la continuité des fonctions
- Analyser les points de discontinuité
- Préparer l'étude de la dérivabilité