Spécialité Mathématiques - Lycée
Les limites infinies sont un concept fondamental en analyse mathématique. Elles nous permettent de décrire le comportement d'une fonction lorsque la variable indépendante tend vers l'infini ou vers un point où la fonction n'est pas bornée.
On dit qu'une fonction f(x) tend vers plus l'infini lorsque x tend vers a (qui peut être un réel ou l'infini) si :
Pour tout réel M aussi grand qu'on veut, il existe un voisinage de a tel que pour tout x dans ce voisinage (sauf éventuellement a), on a f(x) > M.
On note alors : limx→a f(x) = +∞
De manière similaire, on peut définir une limite tendant vers moins l'infini.
Considérons la fonction f(x) = x²
Lorsque x tend vers plus l'infini, f(x) tend aussi vers plus l'infini.
On peut écrire : limx→+∞ x² = +∞
Soit la fonction g(x) = 1 / (x - 2)
Lorsque x s'approche de 2 par la droite, g(x) tend vers plus l'infini.
On note : limx→2⁺ 1 / (x - 2) = +∞
Si lim f(x) = +∞ et lim g(x) = +∞, alors :
Les limites infinies sont cruciales pour :
L'étude des limites infinies requiert une grande rigueur. Assurez-vous de bien comprendre les définitions et les propriétés avant de les appliquer dans des exercices plus complexes.