MathUp - Opérations sur les limites

Introduction

Les opérations sur les limites sont essentielles pour comprendre le comportement des fonctions complexes. Dans ce cours, nous allons explorer les règles fondamentales pour manipuler les limites de fonctions.

1. Somme et différence de limites

Pour deux fonctions f et g, si les limites de f et g existent en un point a, alors :

lim[x→a] (f(x) ± g(x)) = lim[x→a] f(x) ± lim[x→a] g(x)

Exemple :

Si lim[x→2] f(x) = 3 et lim[x→2] g(x) = 5, alors :

lim[x→2] (f(x) + g(x)) = 3 + 5 = 8

lim[x→2] (f(x) - g(x)) = 3 - 5 = -2

2. Produit de limites

Si les limites de f et g existent en un point a, alors :

lim[x→a] (f(x) × g(x)) = lim[x→a] f(x) × lim[x→a] g(x)

Attention : Cette règle n'est pas toujours applicable si l'une des limites est infinie ou si l'une des fonctions n'a pas de limite.

3. Quotient de limites

Si les limites de f et g existent en un point a, et si lim[x→a] g(x) ≠ 0, alors :

lim[x→a] (f(x) / g(x)) = lim[x→a] f(x) / lim[x→a] g(x)

Attention : Cette règle ne s'applique pas si la limite du dénominateur est zéro. Dans ce cas, nous avons affaire à une forme indéterminée qui nécessite une analyse plus approfondie.

4. Limites et compositions de fonctions

Si g est continue en b et si lim[x→a] f(x) = b, alors :

lim[x→a] g(f(x)) = g(lim[x→a] f(x))

Exemple :

Si lim[x→0] f(x) = 2 et g(x) = x², alors :

lim[x→0] g(f(x)) = g(lim[x→0] f(x)) = g(2) = 2² = 4

5. Cas particuliers

Toute limite finie multipliée par zéro donne zéro.
Toute limite finie divisée par l'infini donne zéro.
Toute limite non nulle multipliée par l'infini donne l'infini (avec le signe approprié).