Introduction
Les fonctions continues jouent un rôle fondamental en analyse mathématique. Elles possèdent des propriétés remarquables qui les rendent particulièrement utiles dans de nombreux domaines des mathématiques et de leurs applications.
1. Théorème des valeurs intermédiaires
Énoncé :
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b]. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c dans [a, b] tel que f(c) = k.
Idée de la preuve :
La preuve repose sur la notion de coupure de Dedekind et utilise la propriété de la borne supérieure dans R.
Exemple :
Ce théorème garantit qu'une fonction continue qui change de signe sur un intervalle s'annule au moins une fois sur cet intervalle.
2. Théorème des valeurs extrêmes
Énoncé :
Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a, b]. Alors f atteint son maximum et son minimum sur cet intervalle.
Ce théorème est particulièrement utile en optimisation, garantissant l'existence de solutions optimales pour des problèmes impliquant des fonctions continues sur des domaines fermés et bornés.
3. Théorème de Bolzano-Weierstrass
Énoncé :
Toute suite bornée admet une sous-suite convergente.
Bien que ce théorème ne concerne pas directement les fonctions continues, il est souvent utilisé dans les preuves concernant ces fonctions.
4. Continuité uniforme
Une fonction continue sur un intervalle fermé borné est uniformément continue sur cet intervalle. Cette propriété est plus forte que la simple continuité et garantit un comportement "régulier" de la fonction sur tout l'intervalle.
5. Propriétés algébriques
- La somme de deux fonctions continues est continue.
- Le produit de deux fonctions continues est continu.
- Le quotient de deux fonctions continues est continu (là où le dénominateur ne s'annule pas).
- La composée de deux fonctions continues est continue.
Pratiquer avec des exercices