Introduction
Le théorème des valeurs intermédiaires est l'un des résultats les plus importants et utiles en analyse mathématique. Il nous donne des informations cruciales sur le comportement des fonctions continues.
Énoncé du théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a, b], et soit y un réel compris entre f(a) et f(b). Alors il existe au moins un réel c dans l'intervalle [a, b] tel que f(c) = y.
Interprétation géométrique
Géométriquement, ce théorème signifie que le graphe d'une fonction continue ne peut pas "sauter" par-dessus des valeurs intermédiaires. Si la fonction atteint deux valeurs distinctes, elle doit nécessairement passer par toutes les valeurs entre ces deux-là.
Esquisse de preuve
La preuve rigoureuse utilise la méthode de dichotomie, mais voici une intuition :
- On divise l'intervalle [a, b] en deux moitiés.
- On regarde dans quelle moitié f(x) - y change de signe.
- On répète ce processus indéfiniment, réduisant l'intervalle à chaque étape.
- La limite de ce processus donne le point c cherché.
Applications et conséquences
Le théorème des valeurs intermédiaires a de nombreuses applications pratiques et théoriques :
- Prouver l'existence de solutions pour certaines équations
- Étudier les racines de polynômes
- Analyser le comportement des fonctions en physique et en ingénierie
Exemple d'application
Montrons qu'il existe une solution à l'équation x³ - x = 1 dans l'intervalle [1, 2].
Soit f(x) = x³ - x - 1
f(1) = 1³ - 1 - 1 = -1 et f(2) = 2³ - 2 - 1 = 5
Comme f est continue et que f(1) < 0 < f(2), le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'un c ∈ [1, 2] tel que f(c) = 0, c'est-à-dire une solution à notre équation.
Note : Le théorème garantit l'existence d'une solution, mais ne nous dit pas comment la trouver exactement. Pour cela, des méthodes numériques comme la méthode de Newton peuvent être utilisées.
Limitations et extensions
Il est important de noter que le théorème :
- Ne s'applique qu'aux fonctions continues
- Ne donne pas d'information sur l'unicité de la solution
- Ne fournit pas de méthode pour trouver la solution exacte
Des versions plus avancées du théorème existent pour des fonctions à plusieurs variables et des espaces plus complexes.
Pratiquer avec des exercices sur le TVI