MathUp - Fondamentaux de l'Intégration (Spécialité Mathématiques)

1. Introduction à l'Intégration

L'intégration est un concept fondamental en analyse mathématique qui permet de calculer l'aire sous une courbe, résoudre des problèmes de physique et d'ingénierie, et offre une perspective nouvelle sur les fonctions.

L'intégrale d'une fonction f(x) sur un intervalle [a,b] est notée :

∫_a^b f(x) dx

2. Primitives et Intégrale Indéfinie

Une primitive F(x) d'une fonction f(x) est une fonction dont la dérivée est f(x).

F'(x) = f(x)

L'intégrale indéfinie de f(x) est l'ensemble de toutes ses primitives :

∫ f(x) dx = F(x) + C

où C est une constante arbitraire.

Exemple :

Trouvons une primitive de f(x) = 2x

Une primitive est F(x) = x² + C, car F'(x) = 2x

Donc, ∫ 2x dx = x² + C

3. Intégrale Définie et Théorème Fondamental du Calcul

L'intégrale définie sur un intervalle [a,b] est définie comme la limite d'une somme de Riemann :

∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ Σ_i=1ⁿ f(x_i)Δx

Théorème Fondamental du Calcul :

Si f est continue sur [a,b] et F est une primitive de f, alors :

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Exemple :

Calculons ∫₀¹ 2x dx

Une primitive de 2x est x²

Donc, ∫₀¹ 2x dx = [x²]₀¹ = 1² - 0² = 1

4. Propriétés des Intégrales

Linéarité : ∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx
Positivité : Si f(x) ≥ 0 sur [a,b], alors ∫_a^b f(x) dx ≥ 0
Additivité par rapport à l'intervalle : ∫_a^c f(x) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_b^c f(x) dx