Qu'est-ce que l'intégration par parties ?
L'intégration par parties est une technique puissante pour calculer des intégrales complexes, particulièrement utile lorsque l'intégrande est le produit de deux fonctions. Cette méthode est basée sur la règle du produit de la dérivation et permet de transformer une intégrale difficile en une intégrale plus simple.
La formule d'intégration par parties
La formule fondamentale de l'intégration par parties est :
∫ u dv = uv - ∫ v du
Où :
- u et v sont deux fonctions de x
- du est la dérivée de u par rapport à x
- dv est une expression qui, une fois intégrée, donne v
Quand utiliser l'intégration par parties ?
Cette méthode est particulièrement utile dans les cas suivants :
- Intégration de produits de fonctions polynomiales et trigonométriques
- Intégration de produits de fonctions polynomiales et exponentielles
- Intégration de produits de fonctions polynomiales et logarithmiques
- Intégration de produits de fonctions trigonométriques
Exemples d'application
Exemple 1 : ∫ x cos(x) dx
Posons u = x et dv = cos(x) dx
Alors du = dx et v = sin(x)
∫ x cos(x) dx = x sin(x) - ∫ sin(x) dx
= x sin(x) + cos(x) + C
Exemple 2 : ∫ ln(x) dx
Posons u = ln(x) et dv = dx
Alors du = 1/x dx et v = x
∫ ln(x) dx = x ln(x) - ∫ x · (1/x) dx
= x ln(x) - x + C
Astuces pour l'intégration par parties
Astuce ILATE
Pour choisir u, utilisez l'ordre de préférence suivant :
- I : Fonctions Inverses (log, arcsin, etc.)
- L : Fonctions Logarithmiques
- A : Fonctions Algébriques (polynômes, racines)
- T : Fonctions Trigonométriques
- E : Fonctions Exponentielles
Choisissez u comme la première fonction dans cette liste qui apparaît dans votre intégrale.
Exercices pratiques
Pour maîtriser l'intégration par parties, il est essentiel de pratiquer avec divers types d'intégrales. Voici quelques exercices pour vous entraîner :
- ∫ x² e^x dx
- ∫ x sin(x) dx
- ∫ ln(x)² dx
- ∫ x arctan(x) dx
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