MathUp - Méthodes d'Intégration (Spécialité Mathématiques)

Intégration par parties

Cette méthode est utilisée lorsque l'intégrale contient un produit de fonctions. Elle est basée sur la formule :

∫ u dv = uv - ∫ v du

Où u et v sont des fonctions de x, et du et dv sont leurs différentielles respectives.

Méthode de substitution

Cette technique consiste à remplacer une variable par une autre pour simplifier l'intégrale. La formule générale est :

∫ f(g(x))g'(x)dx = ∫ f(u)du, où u = g(x)

Cette méthode est particulièrement utile pour les intégrales contenant des fonctions composées.

Intégration des fractions rationnelles

Cette méthode s'applique aux fractions rationnelles, c'est-à-dire aux quotients de polynômes. Elle implique souvent la décomposition en éléments simples :

∫ P(x)/Q(x) dx = ∫ (A/x + B/(x-a) + ... + (Mx+N)/(x²+px+q)) dx

Où P(x) et Q(x) sont des polynômes, et A, B, M, N, a, p, q sont des constantes.

Intégration par décomposition

Cette méthode consiste à décomposer l'intégrande en une somme de termes plus simples à intégrer. Elle s'appuie sur la propriété de linéarité de l'intégrale :

∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

Cette technique est souvent combinée avec d'autres méthodes pour résoudre des intégrales complexes.

Intégration trigonométrique

Cette méthode s'applique aux intégrales contenant des fonctions trigonométriques. Elle utilise souvent des identités trigonométriques pour simplifier l'intégrande :

∫ sin²x dx = (x - sin(2x)/2)/2 + C

Cette technique est cruciale pour résoudre de nombreuses intégrales en physique et en ingénierie.

Introduction aux Méthodes d'Intégration