MathUp - Cours sur les Suites Géométriques (Spécialité Mathématiques)

Les Suites Géométriques

1. Définition

Une suite géométrique est une suite (u_n) telle que chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante q appelée raison de la suite.

u_n+1 = q × u_n

où q est un nombre réel non nul appelé la raison de la suite.

2. Terme Général

Le terme général d'une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q est donné par :

u_n = u₀ × qⁿ

3. Propriétés

Si q > 1, la suite est strictement croissante.
Si 0 < q < 1, la suite est strictement décroissante.
Si q = 1, la suite est constante.
Si q < -1, la suite est oscillante et divergente.
Si -1 < q < 0, la suite est oscillante et convergente vers 0.

4. Convergence

Une suite géométrique (u_n) de raison q converge si et seulement si |q| < 1.

Dans ce cas, la limite est :

lim u_n = 0

5. Somme des Termes

La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q ≠ 1 est donnée par :

S_n = u₀ × (1 - qⁿ) / (1 - q)

Exemple :

Soit la suite géométrique définie par u₀ = 2 et q = 3.

Les premiers termes de cette suite sont :

u₀ = 2, u₁ = 6, u₂ = 18, u₃ = 54, ...

Le terme général est : u_n = 2 × 3ⁿ

Note importante :

Les suites géométriques sont très utilisées pour modéliser des phénomènes de croissance ou de décroissance exponentielles, comme l'intérêt composé en finance ou la décroissance radioactive en physique.