MathUp - Raisonnement par Récurrence (Spécialité Mathématiques)

Introduction au Raisonnement par Récurrence

Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration mathématique puissante, particulièrement utile pour prouver des propriétés sur les entiers naturels et les suites.

Principe du Raisonnement par Récurrence

Le raisonnement par récurrence se décompose en trois étapes :

Initialisation : On vérifie que la propriété est vraie pour le premier terme (souvent n = 0 ou n = 1).
Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un entier k quelconque, et on démontre qu'elle est alors vraie pour k+1.
Conclusion : On conclut que la propriété est vraie pour tout entier naturel n supérieur ou égal au rang initial.

Théorème : Principe de Récurrence

Soit P(n) une propriété dépendant d'un entier naturel n. Si :

P(n₀) est vraie pour un certain entier n₀,
Pour tout entier k ≥ n₀, si P(k) est vraie, alors P(k+1) est vraie,

Alors P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀.

Exemple d'Application

Exemple : Somme des n premiers entiers naturels

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 0 :

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

1. Initialisation : Pour n = 0, la somme est nulle et 0(0+1)/2 = 0. La propriété est vraie.

2. Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un entier k ≥ 0. Montrons qu'elle est vraie pour k+1.

1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = [k(k+1)/2] + (k+1)

= [k(k+1) + 2(k+1)] / 2 = (k+1)(k+2) / 2

Ce qui est bien la formule pour n = k+1.

3. Conclusion : Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel n ≥ 0.

Importance et Applications

Le raisonnement par récurrence est crucial en mathématiques, particulièrement pour :

Prouver des formules sur les suites
Démontrer des inégalités
Valider des algorithmes récursifs
Étudier des structures récursives en informatique

Note importante

Le raisonnement par récurrence peut parfois sembler "magique" car il permet de prouver une propriété pour une infinité de cas en ne vérifiant qu'un nombre fini d'étapes. C'est la puissance de ce raisonnement qui en fait un outil indispensable en mathématiques avancées.