Définition d'une application linéaire
Une application linéaire est une fonction entre deux espaces vectoriels qui préserve les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire.
f : E → F est linéaire ⇔ ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ K,
f(x + y) = f(x) + f(y) et f(λx) = λf(x)
f(x + y) = f(x) + f(y) et f(λx) = λf(x)
Où E et F sont des espaces vectoriels sur un corps K (généralement ℝ ou ℂ).
Exemple
Soit f : ℝ² → ℝ définie par f(x, y) = 2x + 3y. Cette fonction est linéaire car :
- f((x₁, y₁) + (x₂, y₂)) = f(x₁ + x₂, y₁ + y₂) = 2(x₁ + x₂) + 3(y₁ + y₂) = (2x₁ + 3y₁) + (2x₂ + 3y₂) = f(x₁, y₁) + f(x₂, y₂)
- f(λ(x, y)) = f(λx, λy) = 2(λx) + 3(λy) = λ(2x + 3y) = λf(x, y)
Propriétés des applications linéaires
- Préservation du vecteur nul : f(0) = 0
- Homogénéité : f(λx) = λf(x) pour tout scalaire λ et vecteur x
- Additivité : f(x + y) = f(x) + f(y) pour tous vecteurs x et y
- Préservation des combinaisons linéaires : f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) pour tous scalaires α, β et vecteurs x, y
Note importante
La linéarité implique que l'image d'une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des images. Cette propriété est fondamentale pour de nombreuses applications en algèbre linéaire.
Conséquences de la linéarité
- L'image d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel.
- Le noyau d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel.
- La composition de deux applications linéaires est linéaire.
Ker(f) = {x ∈ E | f(x) = 0}
Le noyau (Ker) d'une application linéaire est l'ensemble des vecteurs de l'espace de départ qui sont envoyés sur le vecteur nul de l'espace d'arrivée.
Exercices sur les applications linéaires