MathUp - Exemples d'Applications Linéaires

Introduction

Les applications linéaires sont omniprésentes en mathématiques et dans diverses disciplines scientifiques. Voici quelques exemples concrets pour mieux comprendre leur nature et leur utilité.

1. Rotation dans le plan

Une rotation d'angle θ dans le plan est une application linéaire qui peut être représentée par la matrice suivante :

R(θ) = [cos θ, -sin θ; sin θ, cos θ]

Cette application transforme un vecteur (x, y) en un nouveau vecteur (x', y') selon la formule :

(x', y') = (x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ)

2. Projection orthogonale

La projection orthogonale sur une droite passant par l'origine est une application linéaire. Par exemple, la projection sur l'axe des x est donnée par :

P(x, y) = (x, 0)

Cette projection peut être représentée par la matrice :

P = [1, 0; 0, 0]

3. Homothétie

Une homothétie de rapport k est une application linéaire qui multiplie toutes les coordonnées par k. Elle peut être représentée par la matrice :

H = [k, 0; 0, k]

Cette transformation change l'échelle d'un vecteur sans modifier sa direction.

4. Transformation de Fourier discrète

La transformée de Fourier discrète, utilisée en traitement du signal, est une application linéaire. Elle transforme un vecteur de n nombres complexes en un autre vecteur de n nombres complexes, représentant les composantes fréquentielles du signal original.

Démo interactive : Application linéaire 2x2

Entrez une matrice 2x2 et un vecteur 2D pour voir comment l'application linéaire transforme le vecteur.