Introduction
Dans ce cours, nous allons explorer le concept de matrice associée à une application linéaire. Cette notion est fondamentale en algèbre linéaire car elle permet de représenter une application linéaire sous forme matricielle, facilitant ainsi de nombreux calculs et analyses.
Définition
Soit f : E → F une application linéaire entre deux espaces vectoriels E et F de dimensions finies. La matrice associée à f dans des bases données de E et F est une représentation matricielle de f qui permet de calculer les images des vecteurs de E par f en utilisant uniquement des opérations matricielles.
Où :
- B = (e₁, ..., eₙ) est une base de E
- C = (f₁, ..., fₘ) est une base de F
- m = dim(F) et n = dim(E)
- a_{ij} sont les coefficients de la matrice
Construction de la Matrice Associée
Pour construire la matrice associée à une application linéaire f : E → F, on suit ces étapes :
- Choisir une base B = (e₁, ..., eₙ) de E et une base C = (f₁, ..., fₘ) de F.
- Pour chaque vecteur de base eⱼ de E, calculer son image f(eⱼ).
- Exprimer chaque f(eⱼ) comme combinaison linéaire des vecteurs de la base C de F.
- Les coefficients de ces combinaisons linéaires forment les colonnes de la matrice associée.
Exemple
Soit f : ℝ² → ℝ² définie par f(x, y) = (2x + y, x - y). Trouvons la matrice associée à f dans la base canonique de ℝ².
Base canonique de ℝ² : B = C = ((1,0), (0,1))
Calculons :
f(1,0) = (2,1) = 2(1,0) + 1(0,1)
f(0,1) = (1,-1) = 1(1,0) + (-1)(0,1)
La matrice associée est donc :
Propriétés Importantes
- La matrice associée dépend du choix des bases de E et F.
- Si E = F et qu'on utilise la même base pour E et F, on parle de matrice de f dans cette base.
- La composition d'applications linéaires correspond à la multiplication des matrices associées.
- L'application linéaire est injective si et seulement si sa matrice associée est de rang plein.
Note
La matrice associée à une application linéaire est un outil puissant qui permet de transformer des problèmes d'algèbre linéaire en problèmes de calcul matriciel, souvent plus faciles à résoudre ou à implémenter sur ordinateur.
Applications
La matrice associée à une application linéaire est utilisée dans de nombreux domaines :
- En physique, pour décrire des transformations linéaires comme les rotations ou les réflexions.
- En informatique graphique, pour effectuer des transformations sur des objets 3D.
- En théorie des systèmes linéaires, pour étudier le comportement des systèmes.
- En optimisation, pour résoudre des problèmes de programmation linéaire.