Introduction
Dans l'étude des applications linéaires, deux notions fondamentales émergent : le noyau et l'image. Ces concepts nous aident à comprendre la structure et les propriétés des applications linéaires.
Définition du Noyau
Le noyau (ou kernel) d'une application linéaire f : E → F est l'ensemble des vecteurs de E dont l'image par f est le vecteur nul de F. On le note Ker(f).
Ker(f) = {x ∈ E | f(x) = 0F}
Définition de l'Image
L'image (ou range) d'une application linéaire f : E → F est l'ensemble des vecteurs de F qui sont l'image d'au moins un vecteur de E par f. On la note Im(f).
Im(f) = {y ∈ F | ∃x ∈ E, f(x) = y}
Théorème fondamental
Pour une application linéaire f : E → F entre espaces vectoriels de dimension finie, on a la relation suivante :
dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))
Cette relation est connue sous le nom de "théorème du rang".
Exemple
Considérons l'application linéaire f : ℝ² → ℝ² définie par :
f(x, y) = (x + y, x + y)
1. Le noyau de f est l'ensemble des points (x, y) tels que f(x, y) = (0, 0)
Ker(f) = {(x, y) | x + y = 0} = {(x, -x) | x ∈ ℝ}
2. L'image de f est l'ensemble des points (a, b) tels que a = b
Im(f) = {(a, a) | a ∈ ℝ}
On peut vérifier que dim(Ker(f)) = 1 et dim(Im(f)) = 1, ce qui satisfait bien le théorème du rang car dim(ℝ²) = 2.
Note importante
Le noyau d'une application linéaire est toujours un sous-espace vectoriel de l'espace de départ, tandis que l'image est toujours un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée.