Spécialité Mathématiques - Algèbre Linéaire
L'une des applications les plus courantes des déterminants est le calcul de l'aire d'un parallélogramme et du volume d'un parallélépipède.
Pour un parallélogramme défini par deux vecteurs u et v dans le plan, l'aire est donnée par la valeur absolue du déterminant de la matrice formée par ces vecteurs :
Pour un parallélépipède défini par trois vecteurs u, v, et w dans l'espace, le volume est donné par la valeur absolue du déterminant de la matrice formée par ces vecteurs :
Calculons l'aire du parallélogramme défini par les vecteurs u = (3, 2) et v = (1, 4).
Aire = |det(u, v)| = |3 * 4 - 2 * 1| = |12 - 2| = 10 unités carrées
Les déterminants sont utilisés dans la règle de Cramer pour résoudre des systèmes d'équations linéaires.
Pour un système de n équations à n inconnues Ax = b, si det(A) ≠ 0, alors la solution est donnée par :
où Aᵢ est la matrice obtenue en remplaçant la i-ème colonne de A par le vecteur b.
Note : La règle de Cramer est efficace pour les petits systèmes, mais pour les grands systèmes, d'autres méthodes comme l'élimination de Gauss sont préférées.
Le déterminant joue un rôle crucial dans le calcul de l'inverse d'une matrice.
Pour une matrice A, son inverse A⁻¹ peut être calculé à l'aide de la matrice adjointe adj(A) :
où adj(A) est la transposée de la matrice des cofacteurs de A.
Rappel : Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
Les déterminants peuvent être utilisés pour tester la colinéarité de vecteurs dans le plan et la coplanarité de vecteurs dans l'espace.
Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si det(u, v) = 0.
Trois vecteurs u, v, et w sont coplanaires si et seulement si det(u, v, w) = 0.
Vérifions si les vecteurs u = (2, 4) et v = (3, 6) sont colinéaires.
det(u, v) = 2 * 6 - 4 * 3 = 12 - 12 = 0
Comme le déterminant est nul, les vecteurs sont colinéaires.
Les déterminants sont utiles dans les calculs de changement de base en algèbre linéaire.
Si P est la matrice de passage d'une base B à une base B', alors :
Le signe dépend de l'orientation relative des deux bases.