MathUp - Définition et Calcul des Déterminants

Qu'est-ce qu'un déterminant ?

Le déterminant est une fonction qui associe à toute matrice carrée un scalaire. Il joue un rôle crucial en algèbre linéaire, notamment pour résoudre des systèmes d'équations linéaires, calculer l'inverse d'une matrice, et déterminer si un ensemble de vecteurs est linéairement indépendant.

Définition formelle

Pour une matrice carrée A de taille n×n, le déterminant est défini récursivement comme suit :

det(A) = Σ (-1)^(i+j) * a_ij * det(A_ij)

où a_ij est l'élément de la i-ème ligne et j-ème colonne, et A_ij est la sous-matrice obtenue en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne de A.

Calcul pour une matrice 2×2

Pour une matrice 2×2, le calcul du déterminant est relativement simple :

det(A) = ad - bc, pour A = [[a, b], [c, d]]

Calcul pour une matrice 3×3

Pour une matrice 3×3, on peut utiliser la règle de Sarrus :

det(A) = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg), pour A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]

Exemple interactif : Calculez le déterminant d'une matrice 3×3

Entrez les valeurs de votre matrice 3×3 et cliquez sur le bouton pour calculer son déterminant :

Propriétés importantes des déterminants

Le déterminant d'une matrice est nul si et seulement si la matrice n'est pas inversible.
Le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit de leurs déterminants.
Le déterminant de la transposée d'une matrice est égal au déterminant de la matrice originale.

Pratiquer avec des exercices