Cours sur les Déterminants

Spécialité Mathématiques - Algèbre Linéaire

Introduction aux Déterminants

Les déterminants sont des outils mathématiques puissants utilisés en algèbre linéaire. Ils permettent de résoudre des systèmes d'équations linéaires, de calculer des volumes, et jouent un rôle crucial dans de nombreux domaines des mathématiques et de leurs applications.

Définition du Déterminant

Le déterminant est une fonction qui associe à toute matrice carrée un scalaire. Pour une matrice 2x2, le déterminant est défini comme suit :

det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Pour les matrices de dimensions supérieures, le calcul devient plus complexe et fait appel à des méthodes comme le développement selon une ligne ou une colonne.

Propriétés des Déterminants

Propriété 1 : Multiplicativité

Le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit de leurs déterminants :

det(AB) = det(A) * det(B)

Propriété 2 : Transposition

Le déterminant d'une matrice est égal au déterminant de sa transposée :

det(A) = det(A^T)

Propriété 3 : Linéarité

Le déterminant est une fonction linéaire par rapport à chaque ligne (ou colonne) de la matrice.

Calcul du Déterminant

Méthode de Laplace (développement selon une ligne ou une colonne)

Pour une matrice A de taille n x n, on peut calculer son déterminant en développant selon la première ligne :

det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} det(A_{1j})

où A_{1j} est la sous-matrice obtenue en supprimant la première ligne et la j-ème colonne de A.

Exemple de Calcul

Calculons le déterminant de la matrice suivante :

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}

En développant selon la première ligne :

det(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}

det(A) = 2(20 - 2) - (-1)(15 - (-3)) = 2(18) - 18 = 36 - 18 = 18

Applications des Déterminants

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