Cours de Spécialité Mathématiques - Algèbre Linéaire
La diagonalisation est un concept fondamental en algèbre linéaire qui permet de simplifier l'étude de certaines matrices et transformations linéaires. Elle consiste à trouver une base dans laquelle la matrice associée à une application linéaire est diagonale.
Définition : Une matrice carrée A est diagonalisable s'il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que :
La diagonalisation est intimement liée aux notions de valeurs propres et vecteurs propres.
Cette équation est appelée équation caractéristique et permet de trouver les valeurs propres.
Une matrice A d'ordre n est diagonalisable si et seulement si :
Note importante : Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée.
Considérons la matrice :
| 4 | -1 |
| 2 | 1 |
1. Trouvons les valeurs propres en résolvant det(A - λI) = 0
2. Les valeurs propres sont λ₁ = 3 et λ₂ = 2
3. Trouvons les vecteurs propres associés
4. Formons la matrice P avec les vecteurs propres et D avec les valeurs propres
5. Vérifions que A = PDP⁻¹