MathUp - Exercices de Diagonalisation (Spécialité Mathématiques)

Exercice 1

Facile

Déterminez si la matrice suivante est diagonalisable. Si oui, trouvez une matrice diagonale semblable et la matrice de passage correspondante :

A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}

La matrice A n'est pas diagonalisable car elle n'a qu'une seule valeur propre (λ = 3) avec une multiplicité algébrique de 2, mais sa multiplicité géométrique est 1.

En effet, le polynôme caractéristique est (λ - 3)², mais il n'y a qu'un seul vecteur propre indépendant associé à λ = 3.

Exercice 2

Moyen

Diagonalisez la matrice suivante :

B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}

1. Calcul des valeurs propres :

Le polynôme caractéristique est (λ - 4)(λ - 1)²

Valeurs propres : λ₁ = 4, λ₂ = λ₃ = 1

2. Calcul des vecteurs propres :

Pour λ₁ = 4 : v₁ = (1, 1, 1)

Pour λ₂ = λ₃ = 1 : v₂ = (1, -1, 0) et v₃ = (1, 0, -1)

3. Matrice diagonale et matrice de passage :

D = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}

On a B = PDP⁻¹

Exercice 3

Difficile

Soit la matrice :

C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & -4 & -6 & -4 \end{pmatrix}

a) Montrez que le polynôme caractéristique de C est X⁴ + 4X³ + 6X² + 4X + 1.

b) En déduire que C est diagonalisable sur ℂ et donnez ses valeurs propres.

c) Trouvez une base de vecteurs propres de C.

a) Le polynôme caractéristique est en effet X⁴ + 4X³ + 6X² + 4X + 1.

b) Ce polynôme se factorise comme (X + 1)⁴, donc la seule valeur propre est -1 avec une multiplicité algébrique de 4.

c) Une base de vecteurs propres est :

v₁ = (1, -1, 1, -1), v₂ = (0, 1, -2, 3), v₃ = (0, 0, 1, -3), v₄ = (0, 0, 0, 1)

Ces vecteurs forment une base de l'espace propre associé à la valeur propre -1.