Définition d'une matrice diagonalisable
Une matrice carrée A est dite diagonalisable s'il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que :
A = PDP-1
où D est une matrice diagonale contenant les valeurs propres de A sur sa diagonale principale.
Théorème de diagonalisation
Une matrice carrée A d'ordre n est diagonalisable si et seulement si elle admet n vecteurs propres linéairement indépendants.
Caractérisation des matrices diagonalisables
Une matrice A est diagonalisable si et seulement si l'une des conditions suivantes est vérifiée :
- A possède n valeurs propres distinctes (où n est l'ordre de la matrice).
- Pour chaque valeur propre λi de A, la multiplicité algébrique de λi est égale à sa multiplicité géométrique.
- La somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à n.
Exemple
Soit la matrice A :
A = [ [3, 1], [0, 2] ]
Les valeurs propres de A sont λ1 = 3 et λ2 = 2.
Comme A est d'ordre 2 et possède 2 valeurs propres distinctes, A est diagonalisable.
Procédure de diagonalisation
- Calculer les valeurs propres de la matrice A.
- Pour chaque valeur propre, trouver les vecteurs propres associés.
- Former la matrice P dont les colonnes sont les vecteurs propres.
- Former la matrice diagonale D avec les valeurs propres sur la diagonale.
- Vérifier que A = PDP-1.
Note : Toutes les matrices ne sont pas diagonalisables. Par exemple, les matrices nilpotentes non nulles ne sont jamais diagonalisables.
Vérificateur de diagonalisabilité
Entrez une matrice 2x2 pour vérifier si elle est diagonalisable :