Introduction
Les valeurs propres et les vecteurs propres sont des concepts fondamentaux en algèbre linéaire, essentiels pour comprendre la diagonalisation des matrices. Ces notions ont de nombreuses applications en mathématiques, en physique, et en informatique.
Définition : Valeur Propre et Vecteur Propre
Soit \(A\) une matrice carrée d'ordre \(n\). On dit que \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\) s'il existe un vecteur non nul \(v\) tel que :
\[Av = \lambda v\]
Le vecteur \(v\) est alors appelé vecteur propre associé à la valeur propre \(\lambda\).
Caractérisation des Valeurs Propres
Pour trouver les valeurs propres d'une matrice \(A\), on résout l'équation caractéristique :
\[\det(A - \lambda I) = 0\]
où \(I\) est la matrice identité de même dimension que \(A\).
Théorème : Polynôme Caractéristique
Le polynôme \(P(\lambda) = \det(A - \lambda I)\) est appelé polynôme caractéristique de \(A\). Ses racines sont les valeurs propres de \(A\).
Propriétés des Valeurs Propres et Vecteurs Propres
- Une matrice \(n \times n\) a au plus \(n\) valeurs propres distinctes.
- La somme des valeurs propres est égale à la trace de la matrice.
- Le produit des valeurs propres est égal au déterminant de la matrice.
- Les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants.
Exemple
Considérons la matrice :
\[A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]
Le polynôme caractéristique est :
\[P(\lambda) = \det(A - \lambda I) = (3-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8\]
Les valeurs propres sont les solutions de \(P(\lambda) = 0\) :
\[\lambda_1 = 2 \text{ et } \lambda_2 = 4\]
Pour \(\lambda_1 = 2\), on trouve le vecteur propre \(v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Pour \(\lambda_2 = 4\), on trouve le vecteur propre \(v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Note
La recherche des vecteurs propres se fait en résolvant l'équation \((A - \lambda I)v = 0\) pour chaque valeur propre \(\lambda\).
Applications
Les valeurs propres et vecteurs propres sont utilisés dans de nombreux domaines :
- Diagonalisation des matrices
- Résolution d'équations différentielles
- Analyse en composantes principales (ACP) en statistiques
- Mécanique quantique
- Traitement d'images et compression de données
Exemple Interactif
Entrez une matrice 2x2 et calculez ses valeurs propres :