1. Définition d'un Espace Vectoriel
Un espace vectoriel E sur un corps K est un ensemble muni de deux opérations :
- Une addition interne : +: E × E → E
- Une multiplication externe : · : K × E → E
Ces opérations doivent satisfaire certains axiomes pour que E soit un espace vectoriel.
Axiomes d'un Espace Vectoriel
- Associativité de l'addition : (u + v) + w = u + (v + w)
- Commutativité de l'addition : u + v = v + u
- Existence d'un élément neutre pour l'addition : ∃ 0 ∈ E, ∀ u ∈ E, u + 0 = u
- Existence d'un opposé : ∀ u ∈ E, ∃ (-u) ∈ E, u + (-u) = 0
- Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition des vecteurs : λ(u + v) = λu + λv
- Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition des scalaires : (λ + μ)u = λu + μu
- Associativité de la multiplication scalaire : (λμ)u = λ(μu)
- Élément neutre de la multiplication scalaire : 1u = u
2. Exemples d'Espaces Vectoriels
Exemple 1: ℝ²
L'ensemble des couples de nombres réels ℝ² est un espace vectoriel sur ℝ avec :
- Addition : (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)
- Multiplication par un scalaire : λ(x, y) = (λx, λy)
Exemple 2: Espace des polynômes
L'ensemble ℝ[X] des polynômes à coefficients réels forme un espace vectoriel sur ℝ avec les opérations usuelles d'addition de polynômes et de multiplication par un scalaire.
3. Sous-espaces Vectoriels
Un sous-ensemble F d'un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel si :
- F ≠ ∅
- ∀ u, v ∈ F, u + v ∈ F
- ∀ λ ∈ K, ∀ u ∈ F, λu ∈ F
Théorème : Caractérisation d'un sous-espace vectoriel
Un sous-ensemble non vide F de E est un sous-espace vectoriel si et seulement si :
∀ λ, μ ∈ K, ∀ u, v ∈ F, λu + μv ∈ F
Preuve :
Laissée en exercice pour le lecteur. Indice : utilisez les axiomes d'espace vectoriel et la définition de sous-espace vectoriel.
4. Applications et Exercices
Pour consolider votre compréhension des espaces vectoriels, nous vous recommandons de :
- Vérifier que ℝ³ est un espace vectoriel sur ℝ.
- Prouver que l'ensemble des matrices 2x2 forme un espace vectoriel.
- Identifier des sous-espaces vectoriels dans ℝ³.