1. Définition d'une Matrice
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres (ou d'expressions algébriques) disposés en lignes et en colonnes. On note généralement une matrice A de dimension m×n (m lignes et n colonnes) comme suit :
A = (aij)1≤i≤m, 1≤j≤n =
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
\]
où aij représente l'élément situé à l'intersection de la i-ème ligne et de la j-ème colonne.
2. Types de Matrices
- Matrice carrée : Une matrice avec autant de lignes que de colonnes (m = n).
- Matrice identité : Une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs.
- Matrice nulle : Une matrice dont tous les éléments sont égaux à zéro.
- Matrice triangulaire : Une matrice carrée où tous les éléments au-dessus (ou en-dessous) de la diagonale principale sont nuls.
- Matrice symétrique : Une matrice carrée A telle que A = AT (A transposée).
3. Opérations sur les Matrices
3.1 Addition de Matrices
L'addition de deux matrices A et B de même dimension se fait élément par élément :
(A + B)ij = aij + bij
3.2 Multiplication par un Scalaire
La multiplication d'une matrice A par un scalaire k se fait en multipliant chaque élément de A par k :
(kA)ij = k × aij
3.3 Multiplication de Matrices
Le produit de deux matrices A (m×n) et B (n×p) est défini comme suit :
(AB)ij = Σk=1n aikbkj
Note : La multiplication de matrices n'est pas commutative en général (AB ≠ BA).
4. Propriétés des Matrices
- Associativité : (A + B) + C = A + (B + C) et (AB)C = A(BC)
- Distributivité : A(B + C) = AB + AC et (A + B)C = AC + BC
- Élément neutre : A + 0 = A et AI = IA = A (où I est la matrice identité)
- Non-commutativité : AB ≠ BA en général
5. Applications des Matrices
Les matrices sont largement utilisées dans divers domaines :
- Résolution de systèmes d'équations linéaires
- Transformations géométriques (rotations, réflexions, etc.)
- Analyse de graphes et de réseaux
- Cryptographie
- Traitement d'images et compression de données
- Modélisation économique et financière
Pratiquer avec des exercices sur les matrices