Introduction aux Systèmes Linéaires
Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations linéaires impliquant les mêmes variables. Ces systèmes sont fondamentaux en algèbre linéaire et ont de nombreuses applications dans divers domaines scientifiques et techniques.
Définition Formelle
Un système linéaire de m équations à n inconnues peut s'écrire sous la forme générale suivante :
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂
⋮
aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ... + aₘₙxₙ = bₘ
où les aᵢⱼ et bᵢ sont des constantes connues, et les xⱼ sont les inconnues à déterminer.
Représentation Matricielle
Un système linéaire peut être représenté de manière concise sous forme matricielle :
où :
- A est la matrice des coefficients (m × n)
- X est le vecteur des inconnues (n × 1)
- B est le vecteur des termes constants (m × 1)
Exemple
Considérons le système suivant :
4x - y = 1
Sa représentation matricielle serait :
[4 -1] [y] [1]
Avantages de la Représentation Matricielle
- Compacité : Elle permet de représenter de grands systèmes de manière concise.
- Manipulation algébrique : Les opérations sur les matrices peuvent être utilisées pour résoudre les systèmes.
- Analyse théorique : Elle facilite l'étude des propriétés des systèmes linéaires.
Note Importante
La représentation matricielle est particulièrement utile pour l'application de méthodes de résolution comme l'élimination de Gauss ou la méthode de Cramer, que nous explorerons dans les sections suivantes.