Introduction
La résolution des systèmes d'équations linéaires est un problème fondamental en algèbre linéaire. Il existe plusieurs méthodes pour résoudre ces systèmes, chacune ayant ses avantages et ses inconvénients. Voici les principales méthodes :
1. Méthode de substitution
Cette méthode consiste à isoler une variable dans une équation et à la substituer dans les autres équations.
Exemple :
Pour le système :
2x - y = 1
On isole x dans la première équation : x = 5 - y
On substitue dans la deuxième : 2(5 - y) - y = 1
On résout pour y, puis on trouve x.
2. Méthode d'élimination
Cette méthode consiste à éliminer une variable en additionnant ou soustrayant les équations entre elles.
Exemple :
Pour le même système :
2x - y = 1
On additionne les deux équations pour éliminer y :
On résout pour x, puis on trouve y.
3. Méthode de Cramer
Cette méthode utilise les déterminants pour résoudre les systèmes carrés (autant d'équations que d'inconnues).
où |A| est le déterminant de la matrice des coefficients et |Aᵢ| est le déterminant obtenu en remplaçant la i-ème colonne par le vecteur des constantes.
4. Méthode de Gauss-Jordan
Cette méthode consiste à transformer la matrice augmentée du système en une matrice échelonnée réduite.
Étapes :
- Écrire la matrice augmentée du système
- Effectuer des opérations élémentaires sur les lignes
- Obtenir une matrice échelonnée réduite
- Lire la solution directement sur la matrice finale
Note importante
Le choix de la méthode dépend de la taille et de la nature du système à résoudre. La méthode de Gauss-Jordan est particulièrement efficace pour les grands systèmes et peut être facilement implémentée sur ordinateur.