MathUp - Cours sur les Systèmes Linéaires (Spécialité Mathématiques)

1. Introduction aux Systèmes Linéaires

Un système linéaire est un ensemble d'équations linéaires qui doivent être résolues simultanément. Ces systèmes sont fondamentaux en algèbre linéaire et ont de nombreuses applications dans divers domaines scientifiques et techniques.

Exemple de système linéaire :

2x + 3y = 8
4x - y = 1

2. Représentation Matricielle

Les systèmes linéaires peuvent être représentés sous forme matricielle, ce qui facilite leur manipulation et leur résolution.

AX = B

Où A est la matrice des coefficients, X le vecteur des inconnues, et B le vecteur des termes constants.

Représentation matricielle de l'exemple précédent :

[2 3][x] = [8]
[4 -1][y] = [1]

3. Méthodes de Résolution

Il existe plusieurs méthodes pour résoudre les systèmes linéaires :

Méthode	Description
Substitution	On isole une variable et on la substitue dans les autres équations
Élimination	On élimine progressivement les variables pour obtenir une équation à une inconnue
Méthode de Cramer	Utilise les déterminants pour résoudre des systèmes de 2 ou 3 équations
Méthode du pivot de Gauss	Transforme la matrice augmentée en une forme échelonnée réduite

4. Interprétation Géométrique

Les systèmes linéaires ont souvent une interprétation géométrique intéressante :

2 équations à 2 inconnues : intersection de deux droites dans le plan
3 équations à 3 inconnues : intersection de trois plans dans l'espace

Note :

L'interprétation géométrique peut aider à visualiser les solutions et à comprendre les cas particuliers (pas de solution, infinité de solutions).

5. Applications Pratiques

Les systèmes linéaires sont utilisés dans de nombreux domaines :

Économie : modèles d'équilibre de marché
Physique : analyse de circuits électriques
Informatique : traitement d'image et compression de données
Ingénierie : analyse de structures