Théorème fondamental de l'arithmétique

Introduction

Le théorème fondamental de l'arithmétique, également connu sous le nom de théorème de factorisation unique, est un pilier central de la théorie des nombres. Il établit que tout nombre entier positif supérieur à 1 peut être représenté de manière unique comme un produit de nombres premiers.

Théorème fondamental de l'arithmétique

Tout entier naturel strictement supérieur à 1 peut s'écrire comme un produit de facteurs premiers de façon unique à l'ordre près des facteurs.

Énoncé formel

Pour tout entier n > 1, il existe une unique décomposition de la forme :

n = p1α1 × p2α2 × ... × pkαk

où :

Importance et applications

Ce théorème est fondamental en arithmétique pour plusieurs raisons :

  1. Il garantit l'existence et l'unicité de la décomposition en facteurs premiers pour tout nombre entier.
  2. Il permet de comprendre la structure multiplicative des nombres entiers.
  3. Il est à la base de nombreuses propriétés et théorèmes en théorie des nombres.
  4. Il a des applications pratiques en cryptographie, notamment dans les systèmes de chiffrement à clé publique comme RSA.
Exemple

Prenons le nombre 84. Sa décomposition en facteurs premiers est :

84 = 22 × 3 × 7

Cette décomposition est unique (à l'ordre des facteurs près).

Preuve du théorème

La preuve du théorème fondamental de l'arithmétique se fait généralement en deux parties :

  1. Existence : Montrer que tout entier supérieur à 1 admet une décomposition en facteurs premiers.
  2. Unicité : Prouver que cette décomposition est unique à l'ordre près des facteurs.
Esquisse de la preuve

Existence : On utilise une preuve par récurrence sur n. Pour n = 2, c'est trivial car 2 est premier. Pour n > 2, soit n est premier (auquel cas on a terminé), soit n est composé. Dans ce dernier cas, on peut écrire n = ab avec 1 < a, b < n. Par hypothèse de récurrence, a et b ont des décompositions en facteurs premiers. En combinant ces décompositions, on obtient une décomposition pour n.

Unicité : On procède par contradiction. Supposons qu'il existe deux décompositions distinctes. En comparant les plus petits facteurs premiers de chaque décomposition, on arrive à une contradiction.

Note : La preuve complète et rigoureuse du théorème fondamental de l'arithmétique nécessite des connaissances plus avancées en mathématiques, notamment en théorie des ensembles et en logique mathématique.

Conclusion

Le théorème fondamental de l'arithmétique est un outil puissant qui sous-tend de nombreux aspects de la théorie des nombres. Sa compréhension est essentielle pour aborder des sujets plus avancés en mathématiques et en cryptographie.