Théorème des quatre carrés de Lagrange

Introduction

Le théorème des quatre carrés de Lagrange est un résultat fondamental en théorie des nombres, énoncé et démontré par le mathématicien français Joseph-Louis Lagrange en 1770. Ce théorème établit une propriété remarquable concernant la décomposition des nombres entiers positifs.

Théorème des quatre carrés de Lagrange

Tout nombre entier positif peut être exprimé comme la somme de quatre carrés d'entiers.

En d'autres termes, pour tout entier positif n, il existe des entiers a, b, c et d tels que :

n = a² + b² + c² + d²

Exemples

Exemple 1:

7 = 1² + 1² + 1² + 2²

Exemple 2:

23 = 0² + 1² + 2² + 4²

Exemple 3:

100 = 0² + 0² + 6² + 8²

Importance et applications

Le théorème des quatre carrés de Lagrange a plusieurs implications importantes :

Preuve

La preuve complète du théorème est complexe et dépasse le cadre de ce cours. Cependant, nous pouvons donner un aperçu de l'approche utilisée par Lagrange :

  1. Lagrange a d'abord prouvé que tout nombre premier de la forme 4n+1 peut être exprimé comme la somme de deux carrés.
  2. Il a ensuite montré que le produit de deux nombres, chacun étant la somme de quatre carrés, est lui-même la somme de quatre carrés.
  3. En utilisant ces résultats et le théorème fondamental de l'arithmétique, Lagrange a pu étendre le résultat à tous les entiers positifs.

Note : La preuve originale de Lagrange a été simplifiée et affinée par d'autres mathématiciens au fil du temps, notamment par Adrien-Marie Legendre.

Algorithme de décomposition

Bien que le théorème garantisse l'existence d'une décomposition en quatre carrés, il ne fournit pas directement une méthode pour la trouver. Cependant, des algorithmes efficaces ont été développés pour calculer ces décompositions.

Un algorithme simple (mais non optimal) pourrait procéder ainsi :

  1. Pour un nombre n donné, essayez toutes les combinaisons possibles de a, b, c, d telles que 0 ≤ a, b, c, d ≤ √n.
  2. Vérifiez si a² + b² + c² + d² = n.
  3. Si une combinaison est trouvée, c'est la décomposition cherchée.

Des algorithmes plus efficaces existent, utilisant des propriétés avancées de la théorie des nombres.

Conclusion

Le théorème des quatre carrés de Lagrange est un résultat profond et élégant de la théorie des nombres. Il illustre comment des propriétés fondamentales des nombres entiers peuvent conduire à des structures mathématiques fascinantes et universelles.

Exercices sur le théorème de Lagrange