1. Continuité
La continuité est une propriété fondamentale des fonctions en analyse mathématique. Une fonction est dite continue si elle ne présente pas de "sauts" ou de "trous" dans son graphe.
1.1 Définition intuitive
Une fonction \(f\) est continue en un point \(a\) si on peut tracer son graphe au voisinage de \(a\) sans lever le crayon.
1.2 Définition mathématique
1.3 Propriétés des fonctions continues
- La somme, le produit et le quotient (lorsque le dénominateur n'est pas nul) de fonctions continues sont continus.
- La composée de fonctions continues est continue.
Théorème des valeurs intermédiaires
Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \([a,b]\) et que \(k\) est un nombre compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), alors il existe au moins un nombre \(c\) dans \([a,b]\) tel que \(f(c) = k\).
2. Dérivabilité
La dérivabilité est une propriété plus forte que la continuité. Elle nous permet d'étudier le taux de variation instantané d'une fonction.
2.1 Définition de la dérivée
2.2 Interprétation géométrique
La dérivée en un point représente la pente de la tangente à la courbe en ce point.
2.3 Règles de dérivation
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(f(x) = x^n\) | \(f'(x) = nx^{n-1}\) |
| \(f(x) = e^x\) | \(f'(x) = e^x\) |
| \(f(x) = \ln(x)\) | \(f'(x) = \frac{1}{x}\) |
| \(f(x) = \sin(x)\) | \(f'(x) = \cos(x)\) |
| \(f(x) = \cos(x)\) | \(f'(x) = -\sin(x)\) |
Note : Si une fonction est dérivable en un point, elle est nécessairement continue en ce point. Cependant, la réciproque n'est pas toujours vraie.
3. Lien entre continuité et dérivabilité
La dérivabilité implique la continuité, mais la continuité n'implique pas nécessairement la dérivabilité. Voici quelques points clés :
- Toute fonction dérivable en un point est continue en ce point.
- Une fonction peut être continue sans être dérivable (par exemple, la fonction valeur absolue en x=0).
- Les points de non-dérivabilité peuvent être des points anguleux, des points de rebroussement ou des discontinuités de la dérivée.
4. Applications
La continuité et la dérivabilité sont des concepts fondamentaux avec de nombreuses applications :
- Étude des variations d'une fonction
- Recherche d'extrema (maximums et minimums)
- Résolution d'équations et d'inéquations
- Modélisation de phénomènes physiques
- Optimisation en économie et en ingénierie
Exercices
Pour vous entraîner sur la continuité et la dérivabilité, essayez ces exercices :
Cours suivant : Étude complète de fonctions