1. Définition du barycentre
Le barycentre est un concept fondamental en géométrie, représentant le centre de gravité d'un système de points pondérés. Il est défini comme suit :
Soit un système de n points M₁, M₂, ..., Mₙ affectés respectivement des coefficients a₁, a₂, ..., aₙ (non tous nuls).
Le barycentre G de ce système est le point vérifiant :
a₁ * GM₁ + a₂ * GM₂ + ... + aₙ * GMₙ = 0
a₁ * GM₁ + a₂ * GM₂ + ... + aₙ * GMₙ = 0
2. Propriétés du barycentre
- Le barycentre est unique si la somme des coefficients est non nulle.
- Si la somme des coefficients est nulle, le barycentre n'existe pas ou est indéterminé.
- Le barycentre est invariant par translation ou rotation du système de points.
3. Calcul des coordonnées du barycentre
Pour un système de points dans un repère, les coordonnées du barycentre se calculent ainsi :
xG = (a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ) / (a₁ + a₂ + ... + aₙ)
yG = (a₁y₁ + a₂y₂ + ... + aₙyₙ) / (a₁ + a₂ + ... + aₙ)
zG = (a₁z₁ + a₂z₂ + ... + aₙzₙ) / (a₁ + a₂ + ... + aₙ)
yG = (a₁y₁ + a₂y₂ + ... + aₙyₙ) / (a₁ + a₂ + ... + aₙ)
zG = (a₁z₁ + a₂z₂ + ... + aₙzₙ) / (a₁ + a₂ + ... + aₙ)
Exemple :
Considérons trois points A(1,2), B(3,4), et C(5,6) avec des coefficients respectifs 2, 3, et 1.
Le barycentre G aura pour coordonnées :
xG = (2*1 + 3*3 + 1*5) / (2 + 3 + 1) = 14/6 ≈ 2.33
yG = (2*2 + 3*4 + 1*6) / (2 + 3 + 1) = 22/6 ≈ 3.67
Donc G ≈ (2.33, 3.67)
4. Applications des barycentres
- En physique : calcul du centre de masse d'un système
- En géométrie : simplification de certains problèmes de construction
- En infographie : interpolation entre plusieurs points ou couleurs
Note : Le concept de barycentre peut être étendu à des objets continus, comme des surfaces ou des volumes, en utilisant l'intégration.
5. Exploration interactive
Utilisez cet outil interactif pour visualiser le barycentre de trois points pondérés :