MathUp - Cours sur les Ellipses (Spécialité Lycée)

1. Définition de l'ellipse

Une ellipse est le lieu des points M du plan tels que la somme des distances de M à deux points fixes F et F' (appelés foyers) est constante. Cette constante est notée 2a et est supérieure à la distance FF'.

Mathématiquement, pour tout point M de l'ellipse : MF + MF' = 2a

Où :

F et F' sont les foyers de l'ellipse
2a est le grand axe de l'ellipse
La distance entre les foyers est notée 2c
Le demi petit axe est noté b et vérifie : \(a^2 = b^2 + c^2\)

2. Équation cartésienne de l'ellipse

Dans un repère orthonormé où le centre de l'ellipse est à l'origine et les axes de symétrie sont confondus avec les axes du repère, l'équation cartésienne de l'ellipse s'écrit :

\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)

Où :

a est le demi-grand axe (sur l'axe des x)
b est le demi-petit axe (sur l'axe des y)

3. Propriétés géométriques de l'ellipse

L'ellipse a deux axes de symétrie : le grand axe (qui passe par les foyers) et le petit axe (perpendiculaire au grand axe en son milieu).
L'intersection de l'ellipse avec le grand axe donne les sommets principaux A et A'.
L'intersection de l'ellipse avec le petit axe donne les sommets secondaires B et B'.
L'excentricité de l'ellipse, notée e, est définie par : \(e = \frac{c}{a}\) avec \(0 < e < 1\)

4. Représentation interactive de l'ellipse

Utilisez les curseurs ci-dessous pour modifier les paramètres de l'ellipse :

Demi-grand axe (a) :

Demi-petit axe (b) :

5. Applications des ellipses

Astronomie : les orbites des planètes autour du soleil sont elliptiques (Lois de Kepler).
Acoustique : les propriétés focales des ellipses sont utilisées dans la conception de salles à whisper.
Optique : certains miroirs et lentilles ont des formes elliptiques pour des applications spécifiques.
Architecture : les arches elliptiques sont utilisées pour leur esthétique et leurs propriétés structurelles.

6. Exercice d'application

Soit une ellipse d'équation \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\)

Calculez :

Les longueurs des demi-axes a et b
La distance focale c
L'excentricité e

Solution :

a = 4 et b = 3 (car \(16 = 4^2\) et \(9 = 3^2\))
\(c^2 = a^2 - b^2 = 16 - 9 = 7\), donc \(c = \sqrt{7}\)
\(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7}}{4} \approx 0.661\)