Spécialité Mathématiques - Géométrie analytique
Une droite dans l'espace peut être définie par un point A(x_0, y_0, z_0) et un vecteur directeur �⃗� (a, b, c). L'équation paramétrique de la droite s'écrit alors :
x = x_0 + at
y = y_0 + bt
z = z_0 + ct
où t est un paramètre réel.
On peut également représenter une droite par ses équations cartésiennes :
(x - x_0) / a = (y - y_0) / b = (z - z_0) / c
Soit une droite passant par le point A(1, 2, 3) et de vecteur directeur �⃗� (2, -1, 1).
Équation paramétrique :
x = 1 + 2t
y = 2 - t
z = 3 + t
Équations cartésiennes :
(x - 1) / 2 = -(y - 2) = z - 3
Un plan dans l'espace peut être défini par une équation de la forme :
ax + by + cz + d = 0
où (a, b, c) est un vecteur normal au plan et d est une constante.
Si on connaît un point A(x_0, y_0, z_0) du plan et un vecteur normal �⃗� (a, b, c), l'équation du plan s'écrit :
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0
Soit un plan passant par le point A(1, -2, 3) et de vecteur normal �⃗� (2, 1, -1).
Équation du plan :
2(x - 1) + 1(y + 2) + (-1)(z - 3) = 0
Simplifiée : 2x + y - z - 1 = 0
Pour trouver l'intersection entre une droite et un plan, on substitue les équations paramétriques de la droite dans l'équation du plan et on résout pour trouver la valeur du paramètre t.
L'étude des positions relatives entre droites et plans (parallélisme, orthogonalité, etc.) est un sujet connexe important qui mérite une attention particulière.