Les Hyperboles

Définition

Une hyperbole est le lieu géométrique des points dont la différence des distances à deux points fixes, appelés foyers, est constante. Cette constante est égale à 2a, où a est la longueur du demi-grand axe de l'hyperbole.

Équation canonique

L'équation canonique d'une hyperbole centrée à l'origine et dont l'axe focal est l'axe des x est :

\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

où a est la longueur du demi-grand axe et b est la longueur du demi-petit axe.

Propriétés importantes

Les asymptotes de l'hyperbole ont pour équations \( y = \pm \frac{b}{a}x \)
L'excentricité e de l'hyperbole est donnée par \( e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} \)
Les coordonnées des foyers sont \( (\pm c, 0) \), où \( c^2 = a^2 + b^2 \)

Exemple

Considérons l'hyperbole d'équation \( \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \)

Pour cette hyperbole :

a = 4 et b = 3
Les asymptotes ont pour équations \( y = \pm \frac{3}{4}x \)
L'excentricité est \( e = \sqrt{1 + \frac{3^2}{4^2}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} \)
Les coordonnées des foyers sont \( (\pm 5, 0) \) car \( c^2 = 4^2 + 3^2 = 25 \)

Applications des hyperboles

Les hyperboles ont de nombreuses applications pratiques, notamment :

En astronomie pour décrire les orbites des comètes
Dans la conception des télescopes à réflexion
Pour la navigation par GPS (systèmes hyperboliques)
Dans l'acoustique des bâtiments (galeries des murmures)

Quiz rapide

1. Quelle est l'équation des asymptotes d'une hyperbole d'équation \( \frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1 \) ?

a) \( y = \pm \frac{4}{5}x \)
b) \( y = \pm \frac{5}{4}x \)
c) \( y = \pm \frac{25}{16}x \)
d) \( y = \pm \frac{16}{25}x \)