MathUp - Cours sur le Produit Vectoriel

1. Définition du Produit Vectoriel

Le produit vectoriel est une opération mathématique qui s'applique à deux vecteurs de l'espace à trois dimensions et produit un troisième vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs d'origine.

Soit \(\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)\) et \(\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)\), alors leur produit vectoriel est défini comme :

\[\vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)\]

2. Propriétés du Produit Vectoriel

Anti-commutativité : \(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)
Distributivité : \(\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{c})\)
Non-associativité : \((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \neq \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})\)
Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est le vecteur nul

3. Interprétation Géométrique

Le produit vectoriel \(\vec{a} \times \vec{b}\) a plusieurs interprétations géométriques importantes :

Sa direction est perpendiculaire au plan contenant \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\)
Son sens est déterminé par la règle de la main droite
Sa norme est égale à l'aire du parallélogramme formé par \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\)

\[|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\]

où \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\)

4. Applications du Produit Vectoriel

Calcul de moments de force en physique
Détermination de normales à des surfaces en graphisme 3D
Calcul d'aires de parallélogrammes et de triangles
Navigation et orientation en aérospatiale

5. Exemple de Calcul

Calculons le produit vectoriel de \(\vec{a} = (1, 2, 3)\) et \(\vec{b} = (4, 5, 6)\) :

\[\begin{align} \vec{a} \times \vec{b} &= (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x) \\ &= ((2 \cdot 6 - 3 \cdot 5), (3 \cdot 4 - 1 \cdot 6), (1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)) \\ &= (-3, 6, -3) \end{align}\]

6. Visualisation Interactive du Produit Vectoriel

Utilisez les curseurs ci-dessous pour modifier les composantes des vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\). Le produit vectoriel \(\vec{a} \times \vec{b}\) sera affiché en temps réel.

a_x: a_y: a_z:

b_x: b_y: b_z:

Produit vectoriel :

7. Exercices Pratiques

Pour consolider vos connaissances sur le produit vectoriel, essayez ces exercices :

Calculez le produit vectoriel de \(\vec{a} = (2, -1, 3)\) et \(\vec{b} = (1, 2, -2)\).
Démontrez que le produit vectoriel de deux vecteurs orthogonaux a une norme égale au produit des normes de ces vecteurs.
Utilisez le produit vectoriel pour calculer l'aire d'un triangle dont les sommets sont A(0,0,0), B(1,2,3) et C(4,5,6).

Vous trouverez les solutions et d'autres exercices dans la section Exercices sur le Produit Vectoriel.