1. Origine des nombres complexes
Les nombres complexes sont nés de la nécessité de résoudre des équations qui n'avaient pas de solutions dans l'ensemble des nombres réels. Par exemple, l'équation x² + 1 = 0 n'a pas de solution réelle, car le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul.
Les mathématiciens ont donc introduit un nouveau nombre, noté i, tel que i² = -1. Ce nombre i est appelé unité imaginaire.
2. Définition d'un nombre complexe
Un nombre complexe z est un nombre de la forme z = a + bi, où :
- a est la partie réelle de z, notée Re(z)
- b est la partie imaginaire de z, notée Im(z)
- i est l'unité imaginaire, telle que i² = -1
Exemple : Le nombre complexe z = 3 + 2i a pour partie réelle a = 3 et pour partie imaginaire b = 2.
3. Représentation dans le plan complexe
Les nombres complexes peuvent être représentés graphiquement dans un plan appelé plan complexe ou plan d'Argand. Dans ce plan :
- L'axe horizontal représente la partie réelle
- L'axe vertical représente la partie imaginaire
Dans cet exemple, le point rouge représente le nombre complexe z = 3 + 2i.
4. Ensemble des nombres complexes
L'ensemble des nombres complexes est noté ℂ. Il contient tous les nombres de la forme a + bi, où a et b sont des nombres réels.
L'ensemble ℂ des nombres complexes est une extension de l'ensemble ℝ des nombres réels. En effet, tout nombre réel x peut être considéré comme un nombre complexe de la forme x + 0i.
Conclusion
Les nombres complexes sont un outil mathématique puissant qui permet de résoudre des problèmes impossibles dans l'ensemble des nombres réels. Leur représentation géométrique dans le plan complexe offre une intuition visuelle précieuse pour comprendre leurs propriétés et manipulations.