Définition de la Convergence
Une suite \((u_n)\) converge vers une limite \(l\) si, pour tout nombre réel \(\varepsilon > 0\), il existe un rang \(N\) tel que pour tout \(n \geq N\), on a :
En d'autres termes, les termes de la suite se rapprochent arbitrairement près de la limite \(l\) à partir d'un certain rang.
Théorème : Unicité de la limite
Si une suite converge, sa limite est unique.
Suites Monotones et Bornées
Une suite est dite :
- Croissante si pour tout \(n\), \(u_{n+1} \geq u_n\)
- Décroissante si pour tout \(n\), \(u_{n+1} \leq u_n\)
- Monotone si elle est soit croissante, soit décroissante
- Bornée s'il existe \(M > 0\) tel que pour tout \(n\), \(|u_n| \leq M\)
Théorème : Convergence des suites monotones bornées
Toute suite monotone et bornée converge.
Suites Arithmétiques et Géométriques
Suite arithmétique
Une suite arithmétique de raison \(r\) est définie par \(u_{n+1} = u_n + r\).
Elle diverge vers \(+\infty\) si \(r > 0\), vers \(-\infty\) si \(r < 0\), et est constante si \(r = 0\).
Suite géométrique
Une suite géométrique de raison \(q\) est définie par \(u_{n+1} = q \cdot u_n\).
Elle converge vers 0 si \(|q| < 1\), diverge si \(|q| > 1\), et est constante si \(q = 1\).
Visualisation Graphique
Voici une représentation graphique de trois suites : une convergente, une divergente vers \(+\infty\), et une oscillante :
Note : La convergence d'une suite peut parfois être difficile à déterminer visuellement. Des outils mathématiques plus avancés sont souvent nécessaires pour prouver la convergence ou la divergence d'une suite.
Exercices
Pour vous entraîner sur la convergence des suites, essayez ces exercices :
Cours suivant : Limites de Fonctions